Konuyu seç
Çemberin Analitik İncelenmesi · Konu özeti
Çember denklemi
Merkezi M(a, b), yarıçapı r olan çember: (x − a)² + (y − b)² = r². Çember, merkeze uzaklığı r olan noktaların kümesidir; denklem iki nokta arasındaki uzaklık formülünden (Pisagor) gelir. Merkez orijindeyse x² + y² = r².
Genel denklem
x² + y² + Dx + Ey + F = 0 biçimindeki denklem tam kareye tamamlanır: merkez M(−D/2, −E/2), r² = D²/4 + E²/4 − F. r² > 0 ise çember, r² = 0 ise tek nokta, r² < 0 ise boş küme.
Noktanın konumu
(x − a)² + (y − b)² değeri r²’den küçükse nokta çemberin içinde, eşitse üzerinde, büyükse dışındadır.
Doğrunun konumu
Merkezin doğruya uzaklığı d olsun. d < r ise doğru çemberi iki noktada keser, d = r ise teğettir, d > r ise kesmez. y = mx + n için d = |m·a − b + n| / √(m² + 1).
Uygulamalar
Baz istasyonu kapsama alanı, deprem merkez üssü (üç istasyon), radar menzili gibi problemlerde çember denklemi yazılır ve noktalar denklemde denenir.
Sık sorulanlar
(x + 3)² + (y − 1)² = 16 çemberinin merkezi neden (−3, 1)?
Standart biçim (x − a)²’dir. x + 3 = x − (−3) olduğundan a = −3.
Denklemin sağındaki sayı yarıçap mıdır?
Hayır, sağdaki sayı r²’dir. (x − 1)² + y² = 9 çemberinin yarıçapı 3’tür.
Her x² + y² + Dx + Ey + F = 0 denklemi çember midir?
Hayır. r² = D²/4 + E²/4 − F pozitif olmalıdır. Sıfırsa tek nokta, negatifse hiçbir nokta denklemi sağlamaz.
Bir noktanın çemberin içinde olup olmadığını nasıl anlarım?
Noktanın koordinatlarını (x − a)² + (y − b)² ifadesine yaz ve r² ile karşılaştır.
Doğru ile çember teğet ise ne olur?
Merkezin doğruya uzaklığı yarıçapa eşittir ve tek bir ortak nokta vardır.